设 \(r:S^1\to S^1\) 为圆周上的旋转同胚，并假设 \(r\) 没有周期点。本文证明：对任意 \(x\in S^1\)，其轨道

\[O_r(x)=\{r^n(x):n\in\mathbb{Z}\}\]

在 \(S^1\) 中稠密。这是无理旋转（Kronecker 定理）在一般无周期旋转情形下的一个拓扑证明骨架。

定理

若 \(r:S^1\to S^1\) 为旋转同胚且无周期点，则对任意 \(x\in S^1\)，\(\overline{O_r(x)}=S^1\)。

证明思路

若轨道不稠密，则轨道闭包 \(F\) 是圆周的一个真闭子集，其补集 \(A=S^1\setminus F\) 为非空开集。旋转 \(r\) 将 \(A\) 映到自身，因而把 \(A\) 的每个连通分支（开区间）送到另一个连通分支；这些像要么两两不交，要么重合。旋转又保持弧长，所以所有像与原来等长。圆周总长有限，不可能容纳无穷多个等长且两两不交的区间，于是必有两项像重合，从而某个非平凡迭代 \(r^k\) 把某个分支 \(A_0\) 映回自身。在区间上做保向同胚时，若没有不动点，迭代会把点一路推出区间，与 \(r^k(A_0)=A_0\) 矛盾，故 \(r^k\) 在 \(A_0\) 内必有不动点，即 \(r\) 有周期点。这与假设矛盾，故轨道必稠密。

证明

固定 \(x\in S^1\)，记 \(F=\overline{O_r(x)}\) 为轨道闭包。由 \(r(O_r(x))=O_r(x)\) 及连续映射保持闭包，得 \(r(F)=F\) 且 \(r^{-1}(F)=F\)，故 \(F\) 是闭的不变集。令 \(A=S^1\setminus F\)，则 \(A\) 为开集；又因 \(r(F)=F\)，有 \(r(A)=S^1\setminus r(F)=A\)，同理 \(r^{-1}(A)=A\)，所以补集同样不变。

反设轨道不稠密，即 \(F\neq S^1\)，则 \(A\neq\varnothing\)。\(A\) 作为圆周上的开集，其连通分支皆为开区间；取其中一个，记为 \(A_0\)。因 \(r\) 是同胚，连通集映为连通集，连通分支映为连通分支，故对每个 \(n\in\mathbb{Z}\)，\(r^n(A_0)\) 仍是 \(A\) 的一个连通分支。若两个连通分支有非空交，则其并仍连通，与“极大连通”矛盾，因此 \(\{r^n(A_0)\}_{n\in\mathbb{Z}}\) 中任意两项要么相等，要么互不相交。

旋转保持弧长，故每个 \(r^n(A_0)\) 与 \(A_0\) 长度相同，设为 \(\ell>0\)。圆周总长有限，不可能存在无穷多个两两不交、长度均为 \(\ell\) 的区间，于是必有 \(m\neq n\) 使 \(r^m(A_0)=r^n(A_0)\)，从而 \(r^{m-n}(A_0)=A_0\)。记 \(k=m-n\neq 0\)，则 \(r^k\) 将区间 \(A_0\) 映到自身。

将 \(A_0\) 在局部坐标下视为开区间 \((a,b)\)。\(r^k\) 在 \(A_0\) 上为保向同胚；若它在 \(A_0\) 内无不动点，则或处处 \(r^k(t)>t\)，或处处 \(r^k(t)<t\)。前者下 \(r^{2k}(t)>r^k(t)>t\)，迭代把点推向右端，不可能仍落在 \((a,b)\) 内；后者同理推向左端。这与 \(r^k(A_0)=A_0\) 矛盾，故存在 \(p\in A_0\) 使 \(r^k(p)=p\)，即 \(r\) 有周期点。

这与“\(r\) 无周期点”矛盾，故只能 \(A=\varnothing\)，即 \(F=S^1\)。因此对任意 \(x\in S^1\)，轨道 \(O_r(x)\) 在 \(S^1\) 上稠密。\(\square\)

备注

  • 若 \(r\) 为角度加法 \(r(\theta)=\theta+\alpha\pmod{2\pi}\)，则无周期点等价于 \(\alpha/\pi\notin\mathbb{Q}\)，此时上述结论即 Kronecker 稠密性定理。
  • 论证的核心是：有限圆周上不能铺满无穷多个等长不交开区间；由此迫使某个 \(r^k\) 在补集的某分支上留下不动点，从而与无周期点矛盾。
  • 证明中只用到 \(r\) 为同胚、保弧长，并未用到“旋转角为常数”的代数结构，因此对更一般的保向同胚在适当条件下也有类似变形。