偶然间在视频号里刷到了江西2004年高考导数题目，希望从优化的角度书写一下答案。题目是这样的：

\[f(x,a)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{\frac{ax}{ax+8}},\quad x>0,\ a>0.\]

我们希望去证明 $f(x,a)$ 的取值被限制在 $[1,2]$ 这一段里。一个自然思路是：

先找内部驻点 $\nabla F(x,a)=0$； 再看边界（这里是 $x\to 0^+$、$a\to 0^+$、以及变量趋于无穷时）的极限行为。

记 \(F(x,a):= f(x),\quad x>0,\ a>0.\) 这个函数对 $x,a$ 对称，所以下面可以利用这种对称性化简驻点方程。

1. 驻点方程与唯一性

分别对 $x,a$ 求偏导： \(\frac{\partial F}{\partial x} =-\frac{1}{2(1+x)^{3/2}}+\frac{4a}{(ax+8)^{3/2}\sqrt{ax}},\) \(\frac{\partial F}{\partial a} =-\frac{1}{2(1+a)^{3/2}}+\frac{4x}{(ax+8)^{3/2}\sqrt{ax}}.\)

驻点满足 \(\frac{\partial F}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F}{\partial a}=0.\) 联立后消去公共项，得到 \(\frac{a}{x}=\left(\frac{1+a}{1+x}\right)^{3/2}.\)

令 \(\tau=\frac{a}{x}>0,\) 则 \(\tau=\left(\frac{1+\tau x}{1+x}\right)^{3/2}.\) 整理得 \(\tau^{2/3}=\frac{1+\tau x}{1+x} \Longrightarrow x(\tau-\tau^{2/3})=\tau^{2/3}-1.\) 因此 \(x=\frac{\tau^{2/3}-1}{\tau-\tau^{2/3}}.\)

结合 $x>0$ 做符号分析，可知仅有 $\tau=1$ 与正性相容，于是 \(a=x.\) 所以内部驻点只能落在对角线 $a=x$ 上。

2. 沿对角线降维

设 $a=x=t\,(t>0)$，定义 \(h(t):=F(t,t)=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+\frac{t}{\sqrt{t^2+8}}.\)

求导： \(h'(t) =-\frac{1}{(1+t)^{3/2}}+\frac{8}{(t^2+8)^{3/2}}.\) 令 $h’(t)=0$，得到 \(\frac{1}{(1+t)^{3/2}}=\frac{8}{(t^2+8)^{3/2}} \Longrightarrow (t^2+8)^3=64(1+t)^3 \Longrightarrow t^2+8=4(1+t) \Longrightarrow (t-2)^2=0.\) 故唯一临界点为 \(t=2.\)

3. 边界行为与结论

两端极限分别是1和2

临界点函数值： \(h(2)=\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{12}}=\sqrt{3}.\)

综上，沿驻点所在对角线的关键点结构已完全确定：边界极限分别对应 $2$ 与 $1$，且内部仅有一个临界点 $t=2$。结合第 1 步的“驻点只能在 $a=x$”这一结论，可得原函数整体取值被限制在 $[1,2]$ 范围内（端点按极限理解）。